Question

17．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₁，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若y²=4x上存在两点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足：P，Q，F₁三点共线，M，N，F₁三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a=$\sqrt{2}$b²，a=$\sqrt{2}$c及a²=b²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x-1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．

解答 解：（1）由点F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\sqrt{2}$，则$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{2}$b²，①
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，②
由a²=b²-c²，③
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
则椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，则丨MN丨=4，丨PQ丨=2$\sqrt{2}$，
四边形PMQN的面积S=4$\sqrt{2}$，
当直线MN的斜率存在时，直线MN的方程为y=k（x-1），（k≠0），
当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x-1）（k≠0）
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，联立得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，x₁x₂=1，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4}{{k}^{2}}+2）^{2}-4×1}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，
∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+2）x²-4x+2-2k²=0，
令P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），x₃+x₄=$\frac{4}{2+{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2-2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
由弦长公式|PQ|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{2+{k}^{2}}$，
∴四边形PMQN的面积S=$\frac{1}{2}$|MN|•|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}（{k}^{2}+2）}$，
令1+k²=t，（t＞1），
则S=$\frac{4\sqrt{2}{t}^{2}}{（t-1）（t+1）}$=$\frac{4\sqrt{2}{t}^{2}}{{t}^{2}-1}$=4$\sqrt{2}$×（1+$\frac{1}{{t}^{2}-1}$）＞4$\sqrt{2}$，
∴S＞4$\sqrt{2}$，
综上可知：四边形PMQN的面积的最小值4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积的最小值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．