Question

11．平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-1，点M在边CD上，则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． 5
• D． $\sqrt{3}$-1

Answer 1

分析 先根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=x（x-2）+$\frac{3}{4}$=x²-2x+$\frac{3}{4}$=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，设f（x）=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决．

解答 解：∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=-1，点M在边CD上，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•cos∠A=-1，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，∴A=120°，
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，
建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设M（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{MA}$=（-x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{MB}$=（2-x，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=x（x-2）+$\frac{3}{4}$=x²-2x+$\frac{3}{4}$=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，
设f（x）=（x-1）²-$\frac{1}{4}$，则f（x）在[-$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，在[1，$\frac{3}{2}$]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-$\frac{1}{4}$，f（x）_max=f（-$\frac{1}{2}$）=2，
则$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的最大值是2，
故选：A．

点评 本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．