Question

已知函数f（x）=x2+

2

x

-4，(x＞0)，g（x）和f（x）的图象关于原点对称．
（I）求函数g（x）的解析式；
（II）试判断g（x）在（-1，0）上的单调性，并给予证明；
（III）将函数g（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位，再向下平移b（b＞0）个单位，若对于任意的a，平移后gf（x）和f（x）的图象最多只有一个交点，求b的最小值．

Answer 1

分析：（I）因为g（x）和f（x）的图象关于原点对称，所以g（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可确定出g（x）的解析式；
（II）g（x）在（-1，0）上单调递减，理由如下：在（-1，0）任取两个值x₁和x₂，且x₁小于x₂，然后判断g（x₁）与g（x₂）的差为正数，即可得到g（x）在（-1，0）上单调递减；
（III）由第二问得到g（x）在（-1，0）上单调递减，且g（x）与f（x）关于原点对称，要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，只需将g（x）图象向下平移两个单位，因此得到b的最小值为2．

解答：解：（I）由g（x）和f（x）的图象关于原点对称，
得到g（x）=-f（-x）=-（x2-

2

x

-4）=-x²+

2

x

+4，（x＜0）；（2分）
（II）g（x）在（-1，0）上单调递减．
证明：任意取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
则

2

x1x2

＞2，x₁+x₂＞-2，
∵g（x₁）-g（x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂+

2

x1x2

）＞0，
所以g（x）在（-1，0）上递减；（6分）
（III）同理可知g（x）在（-∞，-1）上递增，且g（x）和f（x）关于原点对称．
故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，
则只需要将g（x）向下平移2个单位，
因此b的最小值为2．（10分）

点评：此题考查了函数解析式得求解及常用的方法，函数单调性的证明，以及函数的图象与图象的变化．函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，其证明方法为：在定义域内任取两个自变量的值，并设出大小关系，代入函数解析式分别表示出相应的函数值，利用作差的方法判断其函数值的大小，即可得到函数的单调性．