Question

若函数y=f（x）（x∈R₊）满足：①?x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）则
（1）f（2013）=______；
（2）方程f（x）=f（2013）的解的最小值为______．

Answer 1

解：（1）f（2013）=2•f（）=4•f（）=…=1024•f（）
∵当1≤x≤2时，f（x）=1-|2x-3|
∴f（）=1-|2×-3|=
∴f（2013）=1024•=70
（2）∵f（x）=f（2013）
∴f（x）=70
若1≤x≤2，1-|2x-3|=70无解
若x＞2，不妨令n满足1≤≤2，即2ⁿ≤x≤2ⁿ⁺¹•
∴f（x）=2ⁿ•f（）=2ⁿ（1-|2×-3|）=2ⁿ-|2x-3•2ⁿ|
令2ⁿ-|2x-3•2ⁿ|=70
若x取最小值，则2ⁿ≤2×70≤2ⁿ⁺¹•
则2ⁿ=128，
即128+70=|2x-3•128|
解得x=291（舍）或x=163
故答案为：163
分析：（1）由①?x∈R₊都有f（2x）=2f（x），②f（x）=1-|2x-3|（1≤x≤2）可得f（2013）=1024•f（），f（）=1-|2×-3|，代入可得答案．
（2）根据f（x）=f（2013）=70，根据f（x）=2ⁿ•f（）（其中n满足1≤≤2，即2ⁿ≤x≤2ⁿ⁺¹），进而可求出满足条件的最小值．
点评：本题考查的知识点是函数的方程的综合应用，函数的值，由于函数是抽象函数，故难度较大．