【题目】在平面直角坐标系中,点是直线
上的动点,定点
点
为
的中点,动点
满足
.
(1)求点的轨迹
的方程
(2)过点的直线交轨迹
于
两点,
为
上任意一点,直线
交
于
两点,以
为直径的圆是否过
轴上的定点? 若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,说明理由。
【答案】(1)(2)以
为直径的圆过
轴上的定点
【解析】分析:(1)根据条件可得点的轨迹是以
为焦点、以直线
为准线的抛物线,其方程为
.(2)假设以
为直径的圆过
轴上的定点
, 设
.由题意可得
,
,由
得
.设直线
的方程为
,与抛物线方程联立消元后得到二次方程,结合根与系数的关系和上式可得
,解得
,进而可得以
为直径的圆过
轴上的定点
.
详解:(1)由已知得垂直平分
,故
又轴,
则,
所以点到点
的距离和到直线
的距离相等,
故点的轨迹是以
为焦点、以直线
为准线的抛物线,
由条件可得轨迹的方程为.
(2)假设以为直径的圆过
轴上的定点
.
设
,
则 ,
直线 的方程为
,
令得
即
.
同理可得.
由已知得 恒成立,即
,
即.
设直线的方程为
,
由消去
整理得
,
所以,
于是,
整理得,
解得 .
故以 为直径的圆过
轴上的定点
.
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【题目】甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛,已知每个选择题选择正确得分,否则得
分.其测试结果如下:甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数,乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数,丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数;且丁解题正确的个数的
倍小于甲解题正确的个数的
倍,则这四人测试总得分数最少为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,调查了 105 个样本,统计结果为:服药的共有 55 个样本,服药但患病的仍有 10 个样本,没有服药且未患病的有 30个样本.
(1)根据所给样本数据完成 列联表中的数据;
(2)请问能有多大把握认为药物有效?
(参考公式:独立性检验临界值表
概率 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
患病 | 不患病 | 合计 | |
服药 | |||
没服药 | |||
合计 |
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【题目】已知直线l1:x+my+1=0和l2:(m-3)x-2y+(13-7m)=0.
(1)若l1⊥l2,求实数m的值;
(2)若l1∥l2,求l1与l2之间的距离d.
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【题目】传承传统文化再掀热潮,央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级,随机从中抽取了名选手进行调查,下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级,根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否有
的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关?
优秀 | 合格 | 合计 | |
大学组 | |||
中学组 | |||
合计 |
注:,其中
.
(2)若参赛选手共万人,用频率估计概率,试估计其中优秀等级的选手人数;
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