Question

3．已知f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（2）=3．若对任意的m，n∈[-2，2]，m+n≠0，都有$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}$＞0．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若f（2a-1）＜f（a²-2a+2），求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≥5-2a对任意x∈[-2，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义，判断证明即可．
（2）利用函数的单调性，列出不等式组，求解即可．
（3）利用函数的单调性求出函数的最值，利用不等式转化求解即可．

解答 解：（1）f（x）在定义域[-2，2]上是增函数．证明如下：
设任意x₁，x₂满足-2≤x₁＜x₂≤2，因为f（x）为奇函数，
由题意得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{{f（{x_1}）+f（-{x_2}）}}{{{x_1}+（-{x_2}）}}（{x_1}-{x_2}）$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在定义域[-2，2]上是增函数．…（4分）
（2）由（1）知f（2a-1）＜f（a²-2a+2）
$?\left\{{\begin{array}{l}{-2≤2a-1≤2}\\{-2≤{a^2}-2a+2≤2}\\{2a-1＜{a^2}-2a+2}\end{array}}\right.$$?\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤a≤\frac{3}{2}}\\{0≤a≤2}\\{{a^2}-4a+3＞0}\end{array}}\right.$，
解得0≤a＜1．∴a的取值范围为[0，1）．…（8分）
（3）f（x）在定义域[-2，2]上是增函数，
f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，且f（2）=3．
不等式f（x）≥5-2a对任意x∈[-2，2]恒成立，
可得f（x）_min=f（-2）=-3，
∴5-2a≤f（-2）=-3⇒a≥4…（12分）

点评 本题考查函数的单调性的定义的应用，函数恒成立以及函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．