Question

15．已知首项为$\frac{3}{2}$的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$（n∈N*），求数列{T_n}的最大项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比数列的通项公式和等差数列的性质求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由S_n=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，得T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，根据n为奇数和n为偶数，分类讨论经，能求出数列{T_n}的最大项．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差数列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-$\frac{1}{2}$，
∵a₁=$\frac{3}{2}$，∴a_n=$\frac{3}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-1）^n-1•$\frac{3}{{2}^{n}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，S_n=$\frac{\frac{3}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
当n为奇数时，T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1+（\frac{1}{2}）^{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{{2}^{n}}{1+{2}^{n}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}+1）}$，
当n为偶数时，T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{1-（\frac{1}{2}）^{n}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n}（{2}^{n}-1）}$，
T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$随着n的增大而减小，
即T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$≤S₁+$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{13}{6}$，T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$≤${S}_{2}+\frac{1}{{S}_{2}}$=$\frac{25}{12}$，
综上，有T_n=S_n+$\frac{1}{S_n}$≤$\frac{13}{6}$（n∈N*）成立．
∴数列{T_n}的最大项为T₁=$\frac{13}{6}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的最大项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．