Question

如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，有下列命题：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′-DEF的体积最大值为

1

64

a³；
④存在某个位置，使得DF与A′E垂直．
其中正确的命题是（　　）

• A、②
• B、②③
• C、①②③
• D、①②③④

Answer 1

考点：棱锥的结构特征,命题的真假判断与应用

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：根据空间线面平行，面面垂直，以及三棱锥的体积公式分别进行判断即可．

解答： 解：①中由已知可得四边形ABCD 是菱形，
则DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴面A′FG⊥面ABC，①正确；
又 BC∥DE，∴BC∥平面A′DE；②正确；
当面A′DE⊥面ABC 时，三棱锥A′-DEF 的体积达到最大，最大值为

1

3

×

1

4

×

3

4

a²×

3

4

a=

1

64

a³，③正确；
当（A′E）²+EF²=（A′F）²时，DF与A′E垂直，∴④正确；
故选：D．

点评：本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力，属于中档题．