Question

如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=

2

，点M，N分别在线段PA和BD上，BN=

1

3

BD．
（1）若PM=

1

3

PA，求证：MN⊥AD；
（2）若二面角M-BD-A的大小为

π

4

，求线段MN的长度．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能证明MN⊥AD．
（2）设

PM

=λ

PA

，得M（λ，0，1-λ），

BM

=(λ，-1，1-λ)，

BD

=(0，-2，0)，分别求出平面MBD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法解得λ=

1

2

，由此能求出线段MN的长度．

解答： （本小题满分10分）
（1）证明：连接AC，BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，
OP为z轴建立空间直角坐标系．
∵PA=AB=

2

，则A（1，0，0），B（0，1，0），
D（0，-1，0），P（0，0，1）．

BN

=

1

3

BD

，得N（0，

1

3

，0），
由

PM

=

1

3

PA

，得M（

1

3

，0，

2

3

），

MN

=(-

1

3

，

1

3

，-

2

3

)，

AD

=(-1，-1，0)，
∵

MN

•

AD

=0，∴MN⊥AD．
（2）∵M在PA上，设

PM

=λ

PA

，得M（λ，0，1-λ），
∴

BM

=(λ，-1，1-λ)，

BD

=(0，-2，0)，
设平面MBD的法向量

n

=(x，y，z)，
由

n • BD =0 n • BM =0

，得

-2y=0 λx-y+(1-λ)z=0

，
取z=λ，得

n

=(λ-1，0，λ)，
∵平面ABD的法向量为

OP

=(0，0，1)，二面角M-BD-A的大小为

π

4

，
∴cos

π

4

=|

n • OP

| n || OP |

|，即

2

2

=

λ

(λ-1)2+λ2

，解得λ=

1

2

，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），N（0，

1

3

，0），
∴|MN|=

( 1 2 -0)2+(0- 1 3 )2+( 1 2 -0)2

=

22

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．