Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，点E在PC上，AE⊥PC．
（Ⅰ）证明：平面AEB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若二面角B-AE-D的大小为150°，求∠PDC的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（I）由已知条件推导出AB⊥AC，PA⊥AB，从而得到AB⊥平面PAC，进而得到CD⊥平面PAC，由此能证明平面AEB⊥平面PCD．
（II）法一：由已知条件推导出二面角C-AE-D的大小为60°，∠CED为二面角C-AE-D的平面角，由此能求出∠PDC的大小．
（Ⅱ）法二：以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出∠PDC的大小．

解答： （本小题14分）
（I）证明：∵AB=1，BC=

2

，∠ABC=45°，
∴AB⊥AC…（2分）
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵AC∩AP=A
∴AB⊥平面PAC，又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥AE…（4分）
又∵AE⊥PC，又∵PC∩CD=C
∴AE⊥平面PCD…（6分）
又∵AE?平面AEB
∴平面AEB⊥平面PCD…（7分）
（II）解法一：∵AB⊥平面PAC，AB?平面AEB，
∴平面AEB⊥平面PAC，又∵二面角B-AE-D的大小为150°．
∴二面角C-AE-D的大小等于150°-90°=60°．…（10分）
又∵AE⊥平面PCD，∴CE⊥AE，DE⊥AE，
∴∠CED为二面角C-AE-D的平面角，即∠CED=60°．…（12分）
∵CD=1，∠ECD=90°，∴CE=

3

3

．，∵△AEC∽△PAC，
∴

CE

AC

=

AC

CP

，即CP=

AC2

CE

=

3

，
∴tan∠PDC=

PC

CD

=

3

，∴∠PDC=60°．…（14分）
（Ⅱ）解法二：如图，以A为原点，AB，AC，AP所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
A-xyz，设AP=t，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（-1，1，0），P（0，0，t）．
∵AB⊥PC，AE⊥PC，∴PC⊥平面ABE，
∴平面ABE的一个法向量为

n

=

PC

=(0，1，-t)．…（9分）
∵AE⊥PC，∴AE=

t

1+t2

．设∠EAC=∠APC=θ，
∴sinθ=

t

1+t2

，cosθ=

1

1+t2

∴E(0，

t2

t2+1

，

t

t2+1

)．…（10分）
设平面AED的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

AE

=(0，

t2

t2+1

，

t

t2+1

)，

AD

=(-1，1，0)，
∴

t2 t2+1 •y+ t t2+1 •z=0 -x+y=0

，得

m

=(1，1，-t)．…（12分）
∵二面角B-AE-D的大小为150°，
∴|cos?

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n || m |

=

|t2+1|

t2+1 t2+2

=|cos150°|=

3

2

，
解得t=

2

．…（13分）
∴PC=

3

，CD=1，∴∠PDC=60°．…（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．