Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且bsinB=asinA+（c-

3

a）sinC．
（1）求角B的大小；
（2）设b²-4bcos（A-C）+4=0，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理可得

3

ac=a2+c2-b2，再由由余弦定理求得cosB的值，从而求得B的值．
（2）对于b²-4bcos（A-C）+4=0，由判别式△≥0，可得sin²（A-C）=0，进而得A=C，即a=c，且b=2，再由余弦定理求得a²的值，从而求得△ABC的面积S．

解答： 解：（1）△ABC中，由bsinB=asinA+（c-

3

a）sinC利用正弦定理可得b2=a2+(c-

3

a)c，即

3

ac=a2+c2-b2．
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

2

，∴B=30°．
（2）对于b²-4bcos（A-C）+4=0，∵△=16cos²（A-C）-16=-16sin²（A-C）≥0，
∴sin²（A-C）=0，得A=C，且b=

4cos(A-C)

2

=2．
∴a=c，∴b²=2²=2a²-2a²cos30°，
解得a2=

4

2- 3

=8+4

3

，
故S=

1

2

a2sin300=2+

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．