【题目】已知圆,圆
,动圆
与圆
外切并与圆
内切,圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若双曲线的右焦点即为曲线
的右顶点,直线
为
的一条渐近线.
①.求双曲线C的方程;
②.过点的直线
,交双曲线
于
两点,交
轴于
点(
点与
的顶点不重合),当
,且
时,求
点的坐标.
【答案】(1)(2)①
②
【解析】
试题分析:(1)由两圆相切可得到圆心距和半径的关系,结合椭圆定义可知曲线
为椭圆,进而可求得方程;(2)①由曲线E的方程求得右顶点,从而得到曲线C的右焦点,结合渐近线可求得双曲线中的
值,从而得到双曲线方程;②由向量关系
及
可求得点
的关系式
,将直线方程及双曲线联立转化为二次方程,利用韦达定理得到
,结合
可求得
的值
试题解析:(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以
,………………………1分
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的
椭圆,…3分 ( 求出给1分,求出
得1分) 则此方程为
.…4分
(2)设双曲线方程为,由椭圆
,求得两焦点为
,
所以对于双曲线,…… 5分 又
为双曲线
的一条渐近线,
所以,解得
,… 6分 故双曲线
的方程
.…… 7分
(3)解法一:由题意知直线的斜率
存在且不等于零.
设的方程:
,
,则
,
,……… 8分
所以从而
在双曲线
上,
,………………9分
,
.
同理有………………………10分
若,则直线
过顶点,不合题意,
是二次方程
的两根.
,
,……11分 此时
.
所求
的坐标为
.………… 12分
解法二:由题意知直线的斜率
存在且不等于零
设的方程:
,则
.
,
.
,
,
,
… 8分
又,
,即
,……9分
将代入
,得
,………………10分
,否则
与渐近线平行.
.………11分
,
,
.………………………12分
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【题目】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q之间的关系为:v=a+blog3 (其中a,b是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a,b的值;
(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位?
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【题目】学校艺术节对同一类的,
,
,
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或
作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“,
两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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【题目】某种商品每件进价9元,售价20元,每天可卖出69件.若售价降低,销售量可以增加,且售价降低元时,每天多卖出的件数与
成正比.已知商品售价降低3元时,一天可多卖出36件.
(Ⅰ)试将该商品一天的销售利润表示成的函数;(Ⅱ)该商品售价为多少元时一天的销售利润最大?
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【题目】已知椭圆+
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,抛物线y2=
(a+c)x与椭圆交于B,C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率等于( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;
(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.
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