Question

下列命题中正确的是

②③

（写出所有正确命题的题号）
①存在α满足sinα+cosα=

3

2

；
②y=cos(

7π

2

-3x)是奇函数；
③y=4sin(2x+

5π

4

)的一个对称中心是(-

9π

8

，0)；
④y=sin(2x-

π

4

)的图象可由y=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到．

Answer 1

分析：利用辅助角公式，化简可得sinα+cosα的最大值为

2

，因此不存在α满足sinα+cosα=

3

2

，故①不正确；将函数y=cos(

7π

2

-3x)展开，化简可得y=-sin3x，是奇函数，故②正确；根据函数y=Asin（ωx+φ）的对称性的结论，得到函数y=4sin(2x+

5π

4

)图象的对称中心的一般形式，对照条件得到③正确；将函数y=sin(2x-

π

4

)变形，整理可得它的图象可由y=sin2x的图象向右平移

π

8

个单位得到故④不正确．

解答：解：①∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，
∴sinα+cosα的最大值为

2

＜

3

2

，因此不存在α满足sinα+cosα=

3

2

，故①不正确；
②∵y=cos(

7π

2

-3x)=cos

7π

2

cos3x+sin

7π

2

sin3x，且cos

7π

2

=0，sin

7π

2

=-1
∴函数y=cos(

7π

2

-3x)化简为y=-sin3x，是奇函数，故②正确；
③对于函数y=4sin(2x+

5π

4

)，令2x+

5π

4

=kπ，得x=

kπ

2

-

5π

8

，其中k是整数，
∴y=4sin(2x+

5π

4

)的对称中心坐标为（

kπ

2

-

5π

8

，0），
取k=-1，得(-

9π

8

，0)，所以y=4sin(2x+

5π

4

)的一个对称中心是(-

9π

8

，0)，故③正确；
④y=sin(2x-

π

4

)=sin[2(x-

π

8

)]，所以它的图象可由y=sin2x的图象向右平移

π

8

个单位得到，故④不正确．
故答案为：②③．

点评：本题借助于命题真假的判断，主要考查了正弦函数的对称性、奇偶性、单调性和最值，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识点，属于基础题．