Question

【题目】已知各项为正的数列满足： ， （）.

（1）求；

（2）证明： （）；

（3）记数列的前项和为，求证： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】分析：（1）根据条件递推公式： ， ，依次推导。（2）要证明，故应由条件得到，所以将条件两边减去2得，将右边通分，进而化为 由条件，可得。所以与异号。得到结论。（3）由（2）知与异号，要求数列的前项和为，故应找数列的间隔项的关系。由（2）知，利用此关系式将式子中的化成 ，并化简可得 （）。

要找数列的间隔项的关系，再变为 （）。应判断式子右边的范围。由可得 （）。进而得左边的范围 （）。所以与同号。先求数列前两项的范围， 。进而可得数列奇数项、偶数项的正负。即当时， ；当时， 。再分奇偶判断数列奇数、偶数项的范围及单调性。可得，结合条件可得。由（2）知，故先求右边的范围

，进而得。利用累乘法可得。再用等比数列求和公式可得。化简可得 。

详解：（1）

（2）

与异号

（3）由（2）知

（）

（）

所以 （）

（）

（）

与同号

又

当时，

当时，

①当且为偶数时

数列递增且各项都小于2

②当且为奇数时

数列递减且各项都大于2

由①②知，

由（2）知

又