【题目】设函数,其中,角
的顶点与坐标原点重合,始边与
轴非负半轴重合,终边经过点
,且
.
(Ⅰ)若点的坐标为
,求
的值;
(Ⅱ)若点为线性约束条件
所围成的平面区域上的一个动点,试确定角
的取值范围,并求函数
的最小值和最大值.
【答案】(1)2(2)函数的最小值为1,最大值为
【解析】
(1)若P点的坐标为,根据三角函数的定义,可得
,
,代入可得
的值;
(Ⅱ))若点为线性约束条件
上的一个动点,则
,结合正弦函数的图象和性质可得函数f(a)的最小值及取得最小值时的α的值.
(1)∵点的坐标为
,可得
,
∴由三角函数的定义,得,
,
故.
(2)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影2部分的
及其内部区域,
其中、
,
,
∵为区域内一个动点,且
为角
终边上的一点,
∴运动点,可得当
与
点重合时,
取得最大值为
;
当与线段
上一点重合时,
取得最小值为
.由此可得
.
∵,
∴由,可得
,
当即
时,
取得最小值
;
当即
时,
取得最大值
.
综上所述,函数的最小值为1,最大值为
.
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【题目】已知动圆过点
且与直线
相切,圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若,
是曲线
上的两个点且直线
过
的外心,其中
为坐标原点,求证:直线
过定点.
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【题目】已知抛物线:
经过点
.
(1)求抛物线的方程及其准线方程;
(2)设为原点,过抛物线
的焦点作斜率不为0的直线
交抛物线
于两点
,
,直线
分别交直线
,
于点
和点
.求证:以
为直径的圆经过
轴上的两个定点.
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【题目】如图,某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地,图中.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道
,且两边是两个关于走道
对称的三角形(
和
).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点
与点
均不重合,
落在边
上且不与端点
重合,设
.
(1)若,求此时公共绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求的长度最短,求此时绿地公共走道
的长度.
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【题目】某同学在研究函数时,给出下面几个结论:
①等式对
恒成立;
②函数的值域为;
③若,则一定
;
④对任意的,若函数
恒成立,则当
时,
或
.
其中正确的结论是____________(写出所有正确结论的序号).
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【题目】某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班学生成绩的众数是83,乙班学生成绩的平均数是86,则的值为( )
A.7B.8C.9D.10
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【题目】如图,在棱长为的正方体
中,
,
分别是
和
的中点.
()求异面直线
与
所成角的余弦值.
()在棱
上是否存在一点
,使得二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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