Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5，a_n+1=2a_n+1．
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）若数列{na_n}的前n项和为T_n，试比较2T_n与23n²-13n的大小．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
又∵a₁=5，得a₁+1=6≠0
∴=2，即数列{a_n+1}是以6为首项，公比等于2的等比数列．…（5分）
（2）由（Ⅰ）知a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，所以a_n=3×2ⁿ-1…（7分）
从而T_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+3（3×2³-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令P_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，得2P_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
相减得，P_n=n×2ⁿ⁺¹-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-2=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=3[（n-1）2ⁿ⁺¹+2]-（n²+n）=3（n-1）2ⁿ⁺¹-（n²+n-12）…（9分）
所以2T_n-（23n²-13n）=12（n-1）2ⁿ-12（2n²-n-1）=12（n-1）（2ⁿ-2n-1）…①
当n=1时，①式等于0，所以2T_n=23n²-13n；
当n=2时，①式等于-12＜0，所以2T_n＜23n²-13n
当n≥3时，n-1＞0且2ⁿ＞2n+1，所以，①式符号为正，从而2T_n＞23n²-13n．…（13分）
分析：（1）根据已知等式变形可得=2，结合首项a₁=5，得列{a_n+1}是以6为首项，公比等于2的等比数列．
（2）由等比数列的通项公式和错位相减法求和，结合等差数列的求和公式，算出T_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹-（n²+n-12），将此代入2T_n，再与23n²-13n作差因式分解，最后再对n进行讨论，不难得出2T_n与23n²-13n的大小．
点评：本题给出数列的递推公式，求数列的通项并且比较两个式子的大小，着重考查等比数列、错位相减法，考查灵活运用知识解决问题的能力，属于中档题．