Question

13．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2（a²-b²）=2accosB+bc．
（1）求A的大小；
（2）若b+c=10，则△ABC的周长L的最小值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理将已知的等式转化为边的关系式，化简由余弦定理求出cosA，由A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值；
（2）由（1）和余弦定理表示出a，利用完全平方和公式化简后，由基本不等式求出a的范围，结合条件即可求出△ABC的周长L的最小值．

解答 解：（1）由题意得，2（a²-b²）=2accosB+bc，
在△ABC中，由余弦定理得，2（a²-b²）=2ac•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+bc，
化简得a²-b²=c²+bc，即b²+c²-a²=-bc，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$；
（2）∵b+c=10，A=$\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-bc
=100-bc≥100-${（\frac{b+c}{2}）}^{2}$=75，当且仅当b=c时取等号，
∴a≥5$\sqrt{3}$，
∵b+c=10，∴△ABC的周长L的最小值是10+5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理的应用：求值、边角互化，以及基本不等式求最值问题，考查化简、变形能力，整体思想和转化思想，属于中档题．