Question

如图，在四棱锥中，底面，， ，，，点为棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）余弦值为.

【解析】

试题分析：思路一：坐标法.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），写出各点的坐标，利用空间向量即可解决问题.思路二：几何法.（Ⅰ）如图，取中点，连接，.易得四边形为矩形，从而使问题得证.

（Ⅱ）由于，那么BF在平面ABCD内的射影与AC垂直，故考虑作出BF在平面ABCD内的射影.在中，过点作交于点.由题设可得，从而得，.在平面内，作交于点，于是.显然为二面角的平面角. 在三角形PAG中，由余弦定理可得二面角的余弦值.

试题解析：解法一：坐标法.

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），

可得，，，.由为棱的中点，得.

（Ⅰ）向量，，故. 所以，.

（Ⅱ）向量，，，.

由点在棱上，设，.

故.

由，得，

因此，，解得.

即.

设为平面的法向量，则即

不妨令，可得为平面的一个法向量

取平面的法向量，则

.

易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.

解法二：几何法.

（Ⅰ）如图，取中点，连接，.

由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.

因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.

（Ⅱ）如图，在中，过点作交于点.

因为底面，故底面，

从而.又，得平面，因此.

在底面内，可得，

.在平面内，作交于点，于是.

由于，故，所以四点共面.

由，，得平面，故.

所以为二面角的平面角.

在中，，，，

由余弦定理可得，

在三角形PAG中，由余弦定理得.

所以，二面角的余弦值为.

考点：1、空间直线的垂直关系；2、二面角.