Question

设m，n∈N，f（x）=（1+2x）^m+（1+x）ⁿ．
（1）当m=n=2014时，若f（x）的展开式可表示为f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，求a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄；
（2）若f（x）展开式中x的系数是20，则当m，n取何值时，x²系数最小，最小为多少？

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）当m=n=2014时，f（x）=（1+2x）²⁰¹⁴+（1+x）²⁰¹⁴ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄的值．
（2）因为f（x）展开式中x的系数是2

C

1 m

+

C

1 n

=20，即n=20-2m，则x²的系数为4m²-41m+190，再利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答： 解：（1）当m=n=2014时，f（x）=（1+2x）²⁰¹⁴+（1+x）²⁰¹⁴ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₄x²⁰¹⁴，
令x=-1可得 a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₄=1．
（2）因为f（x）展开式中x的系数是2

C

1 m

+

C

1 n

=2m+n=20，
所以，n=20-2m，则x²的系数为 2²•

C

2 m

+

C

2 n

=4×

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=4m²-41m+190，
所以当m=5，即n=10时，展开式中的x²系数最小，最小值为85．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．