Question

已知函数f（x）=

2lnx

x

（x＞0）
（1）求函数y=f（x）在x=

1

e

处的切线的斜率；
（2）求函数y=f（x）的最大值；
（3）设a＞0，求函数h（x）=af（x）在[a，2a]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1利用导数的运算法则可得f′（x），利用导数的几何意义即可得出切线的斜率f′(

1

e

)；
（2）分别解出f'（x）＞0，由f′（x）＜0，即可得出函数的最大值；
（3）对a与e，

e

2

的大小关系分类讨论，研究函数的单调性极值，即可得出函数的最大值．

解答： 解（1）f′(x)=

2(1-lnx)

x2

（x＞0），
当x=

1

e

 时，切线的斜率k=f′(

1

e

)=4e²．
（2）由f'（x）＞0，解得0＜x＜e；由f′（x）＜0，解 得x＞e．
∴f（x） 在（0，e） 上为增，在（e，+∞） 上为减．
∴f(x)max=f(e)=

2

e

．
（3）h（x）=af（x）=

2alnx

x

，h′(x)=

2a(1-lnx)

x2

．（x＞0，a＞0）．
令h′（x）=0，解得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当e＜x时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．
i）当a＜

e

2

 即2a＜e 时，h（x） 在[a，2a]上为增函数，
∴h（x）_max=h（2a）=ln（2a）．
ii）当

e

2

≤a≤e 即a≤e≤2a，h（x） 在[a，e]上为增函数，在[e，2a]为减函数．
h(x)max=h(e)=

2a

e

．
iii）当a＞e，h（x） 在[a，2a]为减函数，h（x）_max=h（a）=2lna．
综上可得，h（x）_max=

ln(2a)，0＜a＜ e 2 2a e ， e 2 ≤a≤e 2lna，a＞e

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义与切线的斜率，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．