Question

已知函数f（x）=x²+ax+6．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0对x＜0恒成立，求a的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）分△≤0，△＞0两种情况进行讨论，结合二次函数的图象可得解集；
（2）分离出参数a后化为函数最值即可，利用基本不等式可求函数的最小值；

解答： 解：（1）f（x）＜0即x²+ax+6＜0，
△=a²-24，
当△≤0，即a≤-2

6

或a≥2

6

时，解集为∅；
当△＞0即-2

6

＜a＜2

6

时，方程f（x）=0的根为x1，2=

-a± a2-24

2

，
f（x）＜0的解集为：{x|

-a- a2-24

2

＜a＜

-a+ a2-24

2

}．
综上，当a≤-2

6

或a≥2

6

时，不等式的解集为∅；当-2

6

＜a＜2

6

时，不等式的解集为{x|

-a- a2-24

2

＜a＜

-a+ a2-24

2

}．
（2）f（x）＞0即x²+ax+6＞0恒成立，
当x＜0时，可化为a＜-x-

6

x

，
而-x-

6

x

≥2

(-x)•( 6 -x )

=2

6

，当且仅当x=-

6

时取等号，
∴a＜2

6

．

点评：该题考查函数恒成立、二次不等式的解法，考查分类讨论思想，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．