Question

数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列．
（1）计算S₁，S₂，S₃的值；
（2）猜想S_n的表达式，并证明．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等差数列的性质，结合递推思想能求出S₁，S₂，S₃的值．
（2）由S₁，S₂，S₃的值，猜想Sn=

2n-1

2n-1

=2-（

1

2

）^n-1．再利用等差数列的性质进行证明．

解答： 解：（1）因为数列{a_n}中，a₁=1，S_n表示前n项和，且S_n，S_n+1，2S₁成等差数列，
∴2S_n+1=S_n+2S₁，
∵S₁=a₁=1，∴n=1时，2S₂=S₁+2S₁=3，解得S2=

3

2

，
n=2时，2S3=S2+2S1=

7

2

，解得S3=

7

4

．…（6分）
（2）猜想Sn=

2n-1

2n-1

=2-（

1

2

）^n-1．
证明：∵Sn+1=

1

2

Sn+1，∴Sn+1-2=

1

2

(Sn-2)．
∴Sn-2=(S1-2)(

1

2

)n-1=-（

1

2

）^n-1，．
Sn=2-(

1

2

)n-1．…（12分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．