Question

设函数f（x）=（1+x）²-21n（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试讨论关于x的方程：f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上的根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，即可求f（x）的单调区间；
（2）利用参数分离法，转化为a=1+x-21n（1+x），然后利用导数求出g（x）=1+x-21n（1+x）在区间[0，2]上的极值和最值即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的定义域为（-1，+∞），
则函数的导数f′（x）=2（x+1）-

2

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，
若f′（x）＞0，则x＞0，此时函数单调递增，
若f′（x）＜0，则-1＜x＜0，此时函数单调递减，
即f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
f（x）的单调减区间为（-1，0）；
（2）由f（x）=x²+x+a，
得（1+x）²-21n（1+x）=x²+x+a，
则a=1+x-21n（1+x），
设g（x）=1+x-21n（1+x），
则g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
当1＜x＜2时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
即当x=1时，函数g（x）取得极小值，同时也是最小值g（1）=2-2ln2，
∵g（0）=1，g（2）=3-2ln3＜1，
∴若a＜2-2ln2，则方程a=1+x-21n（1+x）在区间[0，2]无解，
若a=2-2ln2，则方程a=1+x-21n（1+x）在区间[0，2]有1解，
若2-2ln2＜a≤3-2ln3，则方程a=1+x-21n（1+x）在区间[0，2]有2解，
若3-2ln3＜a≤1，则方程a=1+x-21n（1+x）在区间[0，2]有1解，
若a＞1则方程a=1+x-21n（1+x）在区间[0，2]无解．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数的关系，以及方程根的个数的判断，考查学生的推理能力．