Question

在△ABC中，中线长AM=2．
（1）若

OA

=-2

OM

，求证：

OA

+

OB

+

OC

=0；
（2）若P为中线AM上的一个动点，求

PA

•（

PB

+

PC

）的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的加法及其几何意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）由点M是线段BC的中点，利用向量的平行四边形法则可得

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)，再利用

OA

=-2

OM

，即可证明．
（2）设|

AP

|=x，则|

PM

|=2-x，（0≤x≤2）．由点M是线段BC的中点，可得

PB

+

PC

=2

PM

．于是

PA

•（

PB

+

PC

）=2

PA

•

PM

=-2|

PA

|•|

PM

|=2（x-1）²-2，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： （1）证明：∵点M是线段BC的中点，∴

OM

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
∵

OA

=-2

OM

，∴

OA

+

OB

+

OC

=-2

OM

+2

OM

=

0

．
（2）解：设|

AP

|=x，则|

PM

|=2-x，（0≤x≤2）．
∵点M是线段BC的中点，
∴

PB

+

PC

=2

PM

．
∴

PA

•（

PB

+

PC

）=2

PA

•

PM

=-2|

PA

|•|

PM

|
=-2x（2-x）=2（x²-2x）
=2（x-1）²-2，
当x=1时，

PA

•（

PB

+

PC

）取得最小值-2．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量的数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．