Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁； 
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC₁⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC₁，再利用线面平行的判定定理即可证明结论

解答： 证明：（1）因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
所以C₁C⊥平面ABC，所以C₁C⊥AC．
又因为AC=3，BC=4，AB=5，
所以AC²+BC²=AB²，
所以AC⊥BC．
又C₁C∩BC=C，
所以AC⊥平面CC₁B₁B，
所以AC⊥BC₁．
（2）连结C₁B交CB₁于E，再连结DE，
由已知可得E为C₁B的中点，
又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC₁的中位线．
∴AC₁∥DE
又∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁．

点评：熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．