Question

已知不在x轴上的动点P与点F（2，0）的距离是它到直线l：x=

1

2

的距离的2倍．
（Ⅰ）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F的直线交E于B，C两点，试判断以线段BC为直径的圆是否过定点？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出P点坐标，然后直接由题意列式整理得答案；
（Ⅱ）设出过点F的直线的方程为x=ky+2，和x2-

y2

3

=1联立后化为关于y的一元二次方程，取A（-1，0），由

AB

•

AC

=0说明以线段BC为直径的圆过定点A（-1，0）．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意得：

(x-2)2+y2

=2|x-

1

2

|，
化简得：x2-

y2

3

=1(y≠0)；
（Ⅱ）由题意可设过点F的直线的方程为x=ky+2，
代入x2-

y2

3

=1得，
（3k²-1）y²+12ky+9=0．
由题意得3k²-1≠0且△＞0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则

y1+y2=- 12k 3k2-1 y1y2= 9 3k2-1

，
设A（-1，0），
∵

AB

•

AC

=(x1+1，y1)(x2+1，y2)
=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂
=（ky₁+3）（ky₂+3）+y₁y₂
=（k²+1）y₁y₂+3k（y₁+y₂）+9
=

9(k2+1)

3k2-1

-

36k2

3k2-1

+9=0．
∴AB⊥AC．
故以线段BC为直径的圆过定点A（-1，0）．

点评：本题是直线与圆锥曲线关系的综合题，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．