Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=1，C=

π

6

．
（1）若a=

3

，求b的值；
（2）求cosA•cosB的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将a，c以及cosC的值代入即可求出b的值；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入原式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，a=

3

，c=1，C=

π

6

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即1=3+b²-3b，
解得：b=1或b=2；
（2）∵C=

π

6

，
∴B=

5π

6

-A，
cosA•cosB=cosA•cos（

5π

6

-A）=cosA（-

3

2

cosA+

1

2

sinA）=-

3

2

cos²A+

1

2

sinAcosA=-

3

4

+

1

4

sin2A-

3

4

cos2A=-

3

4

+

1

2

sin（2A-

π

3

），
∵0＜A＜

5π

6

，即-

π

3

＜2A-

π

3

＜

4π

3

，
∴-

3

2

＜sin（2A-

π

3

）≤1，
则cosA•cosB的取值范围是（-

3

2

，

1

2

-

3

4

]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．