Question

设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

a+c

2b

=cosA+cosC．
（1）证明：A，B，C成等差数列；
（2）求y=cos²

A

2

+cos²

B

2

+cos²

C

2

的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由条阿基利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB•（cosA+cosC ），再利用和差化积公式求得sin

B

2

=

1

2

，

B

2

=30°，可得B=60°，A+C=120°，2B=A+C，命题得证．
（2）利用二倍角公式化简函数的解析式为y=

7

4

+

1

2

cos

A-C

2

，根据-120°＜A-C＜120°，利用余弦函数的定义域和值域求得y的范围．

解答： 解：（1）证明：△ABC中，∵

a+c

2b

=cosA+cosC，
∴由正弦定理可得

sinA+sinC

2sinB

=cosA+cosC，即 sinA+sinC=2sinB•（cosA+cosC ），
即2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=2sinB•2cos

A+C

2

cos

A-C

2

，
化简可得 sin

180°-B

2

=4sin

B

2

cos

B

2

•cos

180°-B

2

，求得sin

B

2

=

1

2

，

B

2

=30°，
∴B=60°，A+C=120°，2B=A+C，∴：A，B，C成等差数列．
（2）求y=cos²

A

2

+cos²

B

2

+cos²

C

2

=

1+cosA

2

+

3

4

+

1+cosC

2

=

7

4

+

1

2

（cosA+cosC）
=

7

4

+

1

2

×2cos

A+C

2

cos

A-C

2

=

7

4

+

1

2

cos

A-C

2

．
由题意可得-120°＜A-C＜120°，∴

A-C

2

∈（-60°，60°），
∴cos

A-C

2

∈（

1

2

，1]，∴y∈（2，

9

4

]．

点评：本题主要考查正弦定理、和差化积公式、二倍角公式的应用，等差数列的定义和性质，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．