Question

2013年11月27日，国家假日办公布了2014年假期安排的三套方案，为了了解老师对假期方案的看法，某中学对全校300名教师进行了问卷调差（每人选择其中的一项），得到如下数据：

所持态度	喜欢方案A	喜欢方案B	喜欢方案C	三种方案都不喜欢
人数（单位：人）	60	90	120	30

（1）若从这300人中按照分层抽样的方法随机抽取10人进行座谈，再从这10人中随机抽取3人探讨学校假期的安排．求这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的概率；
（2）现让（1）中所抽取的10人对学生的寒假放假时间（15天或20天，每人选择其中的一项）进行投票，规定：若这10人中有7人或7人以上都支持其中的一项，则规定寒假放假的天数为对应的投票天数，若这两种情况的投票数都达不到7票，则规定放假25天．求该校寒假放假天数的分布列与期望值（精确到整数天）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）利用抽出喜欢方案A的人有2人，喜欢方案B的人有3人，喜欢方案C的人有4人，三种方案都不喜欢的人有1人，从这10人中随机抽取3人探讨学校假期的安排，则有

C

3 10

种情况，这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的情况有：

C

2 2

C

1 5

+

C

2 3

C

1 5

+

C

1 2

C 1 3 C

1 5

种情况，由此能求出这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的概率．
（2）由题意知该校寒假放假天数X=15，20，25，分别求出相应的概率，由此能求出该校寒假放假天数的分布列与期望值．

解答： 解：（1）若从这200人中按照分层抽样的方法随机抽取10人进行座谈，
则喜欢方案A的人有2人，喜欢方案B的人有3人，
喜欢方案C的人有4人，三种方案都不喜欢的人有1人，
从这10人中随机抽取3人探讨学校假期的安排，则有

C

3 10

种情况，
这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的情况有：

C

2 2

C

1 5

+

C

2 3

C

1 5

+

C

1 2

C 1 3 C

1 5

种情况，
∴这3人中喜欢方案A与B的人数之和恰好为2人的概率为；
p=

C 2 2 C 1 5 + C 2 3 C 1 5 + C 1 2 C 1 3 C 1 5

C 3 10

=

5

12

．
（2）由题意知该校寒假放假天数X=15，20，25，
P（X=15）=

C

7 10

(

1

2

)7(

1

2

)3+

C

8 10

(

1

2

)8(

1

2

)2+

C

9 10

(

1

2

)9(

1

2

)+

C

10 10

(

1

2

)10=

39

256

，
P（X=20）=

C

7 10

(

1

2

)7(

1

2

)3+

C

8 10

(

1

2

)8(

1

2

)2+

C

9 10

(

1

2

)9(

1

2

)+

C

10 10

(

1

2

)10=

39

256

，
P（X=25）=1-

39

256

-

39

256

=

89

128

，
∴X的分布列为：

X	15	20	25
P	39 256	39 256	89 128

EX=15×

39

256

+20×

39

256

+25×

89

128

≈20．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．