Question

设数列{a_n}满足：a₁=

5

6

，且a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

（n∈N^*，n≥2）
（1）求证：数列{a_n-

1

2

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，两边减去

1

2

即可得证数列{a_n-

1

2

}为等比数列，运用等比数列的通项公式，即可求出
a_n；
（2）运用分组求和，将T_n可以分成数列{n•(

1

3

)n}与等差数列{

n

2

}的和，再运用错位相减法，求出数列
{n•(

1

3

)n}的前n项的和，相加即可．

解答： （1）证明：由a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，两边减去

1

2

得，
a_n-

1

2

=≡

1

3

（a_n-1-

1

2

）（n∈N^*，n≥2）
即

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

，
根据等比数列的定义，
可知数列{an-

1

2

}是以

1

3

为公比的等比数列，又首项为a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

，
∴an-

1

2

=（

1

3

）ⁿ，
∴an=

1

2

+(

1

3

)n；
（2）解：b_n=

n

2

+n•（

1

3

）ⁿ，
∴T_n可以分成数列{n•(

1

3

)n}与等差数列{

n

2

}的和．
令S=1×（

1

3

）+2×(

1

3

)2+…+n×(

1

3

)n---（1）

1

3

S=1×(

1

3

)2+2×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+1---（2）
（1）-（2）：

2

3

S=

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-n×(

1

3

)n+1
=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-n×(

1

3

)n+1
=

1

2

-

1

2×3n

-

n

3n+1

，
∴S=（

1

2

-

1

2×3n

-

n

3n+1

）×

3

2

，
=

3

4

-

2n+1

4×3n

又令S’=

1+2+…+n

2

=

n(n+1)

4

∴T_n=S+S'=

3

4

-

2n+1

4×3n

+

n(n+1)

4

．

点评：本题考查等比数列的定义及通项公式，以及数列的求和方法：分组求和、错位相减法，考查基本的运算能力，是一道中档题．