Question

已知函数f（x）=a∫

x+1 1

1

t

dt+（x+1）²（x＞-1）
（1）若f（x）在x=1处有极值，试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）
（2）若a=1，设F（x）=f（x）-（x+1）²-x
①求证：当x＞0时，F（x）＜0；
②设a_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

（n∈N^*），求证：a_n＞ln2．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求出f（x），由f′（1）=0可求a，注意检验，不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，等价于m²+tm+e²-14≤f（x）_min，利用导数易求f（x）_min，再购置关于t的一次函数，由一次函数的性质可得不等式组，解出即可；
（2）①表示出F（x），利用导数可证；②由①得ln（1+x）＜x（x＞0），令x=

1

k+1

，代入可得不等式，分别令k=n，n+1，…2n，累加可得；

解答： 解：（1）f（x）=a∫

x+1 1

1

t

dt+（x+1）²=aln（x+1）+（x+1）²，
∴f′（x）=

a

x+1

+2（x+1）．
由f′（1）=0，可得

a

2

+2+2=0，解得a=-8．
经检验a=-8时，函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=-8．
∵1＜e-1，f′（x）=

-8

x+1

+2x+2=

2(x-1)(x+3)

x+1

．
∴f′（x）＞0，
当x∈[e-1，e]时，f（x）_min=f（e-1）=-8+e²，
不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立，即m²+tm+e²-14≤f（x）_min?m²+tm+e²-14≤-8+e²，
即m²+tm-6≤0对t∈[-1，1]恒成立，
令g（t）=m²+tm-6，
则有

g(-1)≤0 g(1)≤0

，即

m2-m-6≤0 m2+m-6≤0

，解得-2≤m≤2．
（2）①∵F（x）=f（x）-（x-1）²-x=ln（1+x）-x，
∴F′（x）=

-x

1+x

＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，∴F（x）＜F（0）=0，；
②由①得ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=

1

k+1

，得ln（1+

1

1+k

）＜

1

1+k

，即

1

k+1

＞ln(

k+2

k+1

)，
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

+…+ln

2n+2

2n+1

=ln2，
∴a_n＞ln2．

点评：该题考查利用导数研究函数的极值、最值，考查函数恒成立，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力．