Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足4b1-14b2-1…4bn-1=（a_n+1） bn（n∈N^*），证明{b_n}是等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据递推数列的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据指数方程可得2[b₁+b₂+…+b_n]-n=nb_n，然后构造方程组，得到b_n+2+b_n=2b_n+1，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，∴a₁+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即a_n=2ⁿ-1，求数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（2）若数列{b_n}满足4b1-14b2-1…4bn-1=（a_n+1） bn（n∈N^*），
则4b1-14b2-1…4bn-1=（2ⁿ） bn，
即2[b₁+b₂+…+b_n-n]=nb_n，①
2[b₁+b₂+…+b_n+1-（n+1）]=（n+1）b_n+1，②，
②-①得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0，④
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
则b_n+2+b_n=2b_n+1，
∴{b_n}是等差数列．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，以及等差数列的判断，考查学生的推理能力．