Question

已知函数f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

+1
（1）求f（x）的最小正周期和递减区间；
（2）求f（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：化简三角函数，由周期公式可得周期，由整体法和三角函数的单调性易得f（x）单调性和最值．

解答： 解：化简可得f（x）=sin

x

2

-

3

cos

x

2

+1
=2sin（

x

2

-

π

3

）+1，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
由2kπ+

π

2

≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+

3π

2

可得4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，
∴f（x）的递减区间为[4kπ+

5π

3

，4kπ+

11π

3

]，k∈Z；
（2）当

x

2

-

π

3

=2kπ+

π

2

即x=4kπ+

5π

3

，k∈Z时，函数取最大值，
且最大值为2×1+1=3，此时x的集合为{x|x=4kπ+

5π

3

，k∈Z}．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．