Question

已知（x+

1

2

）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列，设（x+

1

2

）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ；求：
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₀-a₁+a₂+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）由（x+

1

2

）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列，可得2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

×(

1

2

)2，由此求得求得n的值．
（Ⅱ）在（x+

1

2

）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂+…+（-1）⁸a₈ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵（x+

1

2

）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列，
∴2

C

1 n

•

1

2

=

C

0 n

+

C

2 n

×(

1

2

)2，
求得 n=1（舍去），或n=8．
（Ⅱ）在（x+

1

2

）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸中，令x=-1，可得
求a₀-a₁+a₂+…+（-1）⁸a₈=(-1+

1

2

)8=

1

28

．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．