Question

若（

1

2

+2x）ⁿ展开式中前三项的二项式系数之和为79，求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：由条件求得n=12，再求得通项公式为 T_r+1=

C

r 12

•2^2r-12•x^r．由

C r 12 •4r-6 ≥C r+1 12 •4r-5 C r 12 •4r-6 ≥C r-1 12 •4r-7

，求得r=10，可得结论．

解答： 解：由题意可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=1+n+

n(n-1)

2

=79，解得n=-13（舍去）或 n=12，
故（

1

2

+2x）¹²展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 12

•(

1

2

)12-r•（2x）^r=

C

r 12

•2^2r-12•x^r．
要使第r+1项的系数最大，只要

C

r 12

•2^2r-12=

C

r 12

•4^r-6 最大．
由

C r 12 •4r-6 ≥C r+1 12 •4r-5 C r 12 •4r-6 ≥C r-1 12 •4r-7

，可得

47

5

≤r≤

52

5

，∴r=10，
即第11项的系数最大．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．