Question

已知f（x）=sinx+

3

cosx+2，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．
（3）求函数f（x）在[0，2π]的单调增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得f（x）=2sin(x+

π

3

)+2，可得函数f（x）的最小正周期；
（2）当sin（x+

π

3

）=1即x+

π

3

=2kπ+

π

2

时，函数取最大值；
（3）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

解x的范围和[0，2π]取交集可得．

解答： 解：（1）化简可得f(x)=sinx+

3

cosx+2=2sin(x+

π

3

)+2，
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π；
（2）当sin（x+

π

3

）=1时，f（x）取得最大值4，
此时x+

π

3

=2kπ+

π

2

，解得x=2kπ+

π

6

，k∈Z；
（3）由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

，k∈Z，
和[0，2π]取交集可得函数在[0，2π]的单调增区间为：[0，

π

6

]和[

7π

6

，2π]．

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和最值以及周期性，属基础题．