Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+2}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等比数列的前n项和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6，即可求a₂，a₃的值；
（2）由已知可得a_n+1+2=4（a_n+2），可得数列{a_n+2}是等比数列；
（3）由（2）可得a_n=4ⁿ-2，可得S_n=4+4²+4³+2³+…+4ⁿ-2n，由等比数列的求和公式计算可得．

解答： （1）解：∵数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n+6，
∴a₂=14，a₃=62；
（2）证明：∵a_n+1=4a_n+6，∴a_n+1+2=4（a_n+2）
又a₁+2=4≠0
∴数列{a_n+2}是以4为首项，4为公比的等比数列．     …（4分）
（3）解：由（2）知数列{a_n+2}的通项公式为a_n+2=4ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=4+4²+4³+2³+…+4ⁿ-2n
=

4(1-4n)

1-4

-2n=

4

3

（4ⁿ-1）-2n．

点评：本题考查等比数列关系的确定，涉及数列的求和，属中档题．