Question

已知x∈（-1，1）时，f（x）=x²-ax+

a

2

＞0恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：x∈（-1，1）时，f（x）=x²-ax+

a

2

＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，按照对称轴x=

a

2

在区间（-1，1）内，区间外两种情况进行讨论，可求得f（x）的最小值，令其大于0可求．

解答： 解：x∈（-1，1）时，f（x）=x²-ax+

a

2

＞0恒成立，等价于f（x）_min＞0，
f（x）=x²-ax+

a

2

是开口向上的抛物线，对称轴是x=

a

2

，
当-1＜

a

2

＜1时，即：-2＜a＜2时，x=

a

2

时，f（x）取最小值．
∴只需f（

a

2

）=(

a

2

)2-a×

a

2

+

a

2

＞0，即a²-2a＜0，解得0＜a＜2，
又∵-2＜a＜2，∴0＜a＜2①；
当对称轴x=

a

2

不在（-1，1）时，即a≤-2或a≥2时f（x）是单调函数，
只需f（-1）≥0，且f（1）≥0，
由f（-1）≥0得：1+a+

a

2

≥0，即a≥-

2

3

，
由f（1）≥0得：1-a+

a

2

≥0，即a≤2，
∴-

2

3

≤a≤2，
又∵a≤-2或a≥2，∴a=2②．
综合①②得：0＜a≤2．

点评：该题考查函数恒成立问题，考查二次函数的有关性质，考查转化思想、分类讨论思想．