Question

求数列1，a+a²，a²+a³+a⁴，a³+a⁴+a⁵+a⁶，…的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意知a3=an-1+an+…+a2n-2，由此利用a的取值进行分类讨论，由此能求出前n项和S_n．

解答： 解：由题意知a3=an-1+an+…+a2n-2，
当a=1时，an=n，Sn=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
当a≠1由等比数列的求和公式，得：
an=

an-1(1-an)

1-a

=

an-1-a2n-1

1-a

，
∴Sn=

1

1-a

[(1+a+a2+…+an-1)-（a+a³+…+a^2n-1）]，
①当a≠±1时，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]．
②当a=-1时，Sn=

1

2

[1-1+1-1+…+(1-)n-1+(-1-1-1-…-1)]
=

1

2

[1-1+1-1+…+(-1)n-1]-n×(-1)×

1

2

，
当n为奇数时，Sn=

1

2

×1+

1

2

n=

1+n

2

，
当n为偶数时，Sn=

1

2

×0+

1

2

n=

n

2

．
综上，得：当a=1时，Sn=

n(n+1)

2

．
当a=-1时，Sn=

n+1 2 ，n为奇数 n 2 ，n为偶数

．
当a≠±1时，Sn=

1

1-a

[

1-an

1-a

-

a(1-a2n)

1-a2

]．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．