Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n-1+1=2a_n（n≥2，n∈N）．
（1）证明数列{a_n-1}是等比数列，并求a_n；
（2）若数列{b_n}满足：2b₁+2²b₂+…2ⁿb_n=n•2ⁿ，求数列{b_n}的通项公式；
（3）令c_n=-2a_n•b_n+（n+1）（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

an-1

an-1-1

=

1

2

，n≥2，所以{a_n-1}是等比数列，公比是

1

2

，由此能求出an=1-(

1

2

)n．
（2）由已知条件推导出2nbn=(n+1)•2n-1，n≥2，由此能求出bn=

n+1

2

．
（3）c_n=-2a_n•b_n+（n+1）=(n+1)•[(

1

2

)n-1]+(n+1)=(n+1)•(

1

2

)n，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n-1+1=2a_n（n≥2，n∈N），
∴2（a_n-1）=a_n-1-1，n≥2，

an-1

an-1-1

=

1

2

，n≥2，
∴{a_n-1}是等比数列，公比是

1

2

，（2分）
又∵{a_n-1}是等比数列，公比是

1

2

，
a1-1=

1

2

，
∴an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，∴an=1-(

1

2

)n．（4分）
（2）解：∵数列{b_n}满足：2b₁+2²b₂+…2ⁿb_n=n•2ⁿ，①
∴2b₁+2²b₂+…2^n-1b_n-1=（n-1）•2^n-1，n≥2，②（5分）
①-②，得2nbn=(n+1)•2n-1，n≥2，
∴bn=

n+1

2

，n≥2，（7分）
又当n=1时，2b₁=2，b₁=1也满足上式，
∴bn=

n+1

2

．（8分）
（3）解：∵an=1-(

1

2

)n，bn=

n+1

2

，
∴c_n=-2a_n•b_n+（n+1）=(n+1)•[(

1

2

)n-1]+(n+1)=(n+1)•(

1

2

)n，（9分）Tn=2×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)•(

1

2

)n③

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n+(n+1)•(

1

2

)n+1④
③-④得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1，（12分）

1

2

Tn=

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-(n+1)•(

1

2

)n+1，（13分）
即

1

2

Tn=1-(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1，
∴Tn=2-(n+3)•(

1

2

)n．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．