Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=

1

4

a_n²+

1

2

a_n-

3

4

（1）求数列{a_n}的通项公式；     
（2）若a_n=2ⁿb_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）运用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n＞1

即可求出a_n；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，即可求出数列{b_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

4

an2+

1

2

a_n-

3

4

，
∴S_n-1=

1

4

an-12+

1

2

a_n-1-

3

4

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（an2-an-12）+

1

2

（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵正项数列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=2，易得a₁=3，
∴a_n=2n+1；
（2）∵a_n=2ⁿb_n
∴b_n=

an

2n

=

2n+1

2n

∴Tn=

2×1+1

21

+

2×2+1

22

+…+

2n+1

2n

1

2

Tn=

2×1+1

22

+

2×2+1

23

+…+

2(n-1)+1

2n

+

2n+1

2n+1

上面两式相减得，

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n

=

3

2

+2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

，
∴T_n=5-（2n+5）

1

2n

．

点评：本题考查数列的通项的求法和求和方法，主要考查运用a_n与S_n的关系式和错位相减法，属于中档题．