Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），离心率e=

2

，右焦点F（c，0）．方程ax²-bx-c=0的两个实数根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）与圆x²+y²=8的位置关系（　　）

• A、在圆外
• B、在圆上
• C、在圆内
• D、不确定

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知圆的方程找出圆心坐标与圆的半径r，然后根据双曲线的离心率公式找出c与a的关系，根据双曲线的平方关系，把c与a的关系代入即可得到a等于b，然后根据韦达定理表示出两根之和和两根之积，利用两点间的距离公式表示出点P与圆心的距离，把a，b及c的关系代入即可求出值，与圆的半径比较大小即可判断出点与圆的位置关系．

解答： 解：由圆的方程x²+y²=8得到圆心O坐标为（0，0），圆的半径r=2

2

，
又双曲线的离心率为e=

c

a

=

2

，即c=

2

a，
则c²=2a²=a²+b²，即a²=b²，又a＞0，b＞0，得到a=b，
因为方程ax²-bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，所以x₁+x₂=

b

a

，x₁x₂=-

c

a

，
则|OP|=

x12+x22

=

(x1+x2)2-2x1x2

=

1+ 2

＜r=2

2

，
所以点P在圆x²+y²=8内．
故选：C．

点评：此题考查学生掌握点与圆的位置关系的判别方法，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．