Question

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=60°，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，AP=2，AD=2．
（I）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知M是PB的中点，求MC与平面AMB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的判定定理即可证明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）根据线面角的定义作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （I）证明：四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，
取AB的中点E，连接DE，
则DE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴DE⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，
∴DE⊥PB，
即PA⊥DE，
∵PA⊥AD，AD∩DE=D，
∴PA⊥平面ABD，即PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若M是PB的中点，连接ME，则ME∥PA，且ME=$\frac{1}{2}$PA=1，
延长AB到BP，使AB=BP，连接CP，
则四边形BPCD是菱形，取BP的中点F，连接CF，
则CF⊥BP，且CF∥DE，
则CF⊥平面PAB．
连接MF，则MF是CM在平面MAB上的射影，
即∠CMF是MC与平面AMB所成的角，
∵AD=2，∴BF=1，BC=2，CF=$\sqrt{3}$，
EF=EB+BF=1+1=2，
则MF=$\sqrt{M{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
则tan∠CMF=$\frac{CF}{MF}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的判定以及线面角的计算，要将空间角转化成平面角来解决．考查空间想象，转化、计算能力．