Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB，△PBC为等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥平面PCD；
（2）求直线PA与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明CD∥AB，即可证明AB∥平面PCD；
（2）取BC的中点O，则PO⊥平面ABCD，则∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角，根据三角形的边角关系进行求解即可．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，
∴CD∥AB，
∵CD?平面PCD，AB?平面PCD
∴AB∥平面PCD；
（2）∵△PBC为等边三角形，
∴取BC的中点O，
则PO⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
则OA是PA在底面ABCD的射影，
则∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角，
设BC=AB=1，
则PB=1，OB=$\frac{1}{2}$，
则PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则tan∠PAO=$\frac{PO}{OA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即直线PA与平面ABCD所成角的正切值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及线面所成角的求解，根据线面平行的判定定理以及线面角的定义作出平面角是解决本题的关键．