Question

9．已知抛物线y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为$\frac{1}{2}$，过y轴正半轴上一点C（0，c）作直线，与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若P为线段AB的中点，过点P作PQ⊥x轴，交直线l：y=-c于点Q，求证：QA，QB为抛物线的切线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线的标准方程，根据抛物线y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为$\frac{1}{2}$，求出p的值，即可求出a的值；
（Ⅱ）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；

解答 解：（Ⅰ）抛物线的标准方程为x²=$\frac{1}{a}$y，
即2p=$\frac{1}{a}$，
∵抛物线y=ax²（a＞0）的焦点到准线的距离为$\frac{1}{2}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，即2p=$\frac{1}{a}$=1，
则a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线的标准方程为x²=y，
设直线AB：y=kx+c，与y=x²联立，得x²-kx-c=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=k，x₁x₂=-c，从而y₁y₂=x₁²x₂²=c²，
若P为线段AB的中点，则$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{k}{2}$，
故直线PQ：x=$\frac{k}{2}$，可得$Q（{\frac{k}{2}，-c}）$．
设$A（{x_1}，x_1^2）$，k_QA=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+c}{{x}_{1}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由（Ⅰ）可得x₁x₂=-c，即有x₂=-$\frac{c}{{x}_{1}}$，
可得k_QA=$\frac{2（{{x}_{1}}^{2}+c）}{{x}_{1}-（-\frac{c}{{x}_{1}}）}$=2x₁，
由y=x²的导数为y′=2x，
可得过A的切线的斜率为2x₁，
故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点；即QA为抛物线的切线．
同理可知QB也为抛物线的切线．
即QA，QB为抛物线的切线．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，根据抛物线的定义求出抛物线的标准方程是解决本题的关键．联立直线和抛物线的方程，利用设而不求的思想，结合直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，运算量较大，综合性较强．