Question

20．已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则cosB的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 设锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边长分别为b-d，b，b+d（不妨设d＞0），利用$\left\{\begin{array}{l}{b-d+b＞b+d}\\{（b-d）^{2}+{b}^{2}＞（b+d）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{b}{d}$＞4，结合余弦定理，即可得出结论．

解答 解：设锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边长分别为b-d，b，b+d（不妨设d＞0）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{b-d+b＞b+d}\\{（b-d）^{2}+{b}^{2}＞（b+d）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{b}{d}$＞4，
由余弦定理得，cosB=$\frac{（b-d）^{2}+（b+d）^{2}-{b}^{2}}{2（b-d）（b+d）}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{b}^{2}+2{d}^{2}}{{b}^{2}-{d}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{t+2}{t-1}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{t-1}$），
其中t=$（\frac{b}{d}）^{2}$∈（16，+∞），
所以t-1∈（15，+∞），
∴0＜$\frac{3}{t-1}$＜$\frac{1}{5}$
所以cosB∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）．
a，b，c相等，cosB=$\frac{1}{2}$
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查余弦定理的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．