Question

2．已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）$（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$图象上的任意两点，且角φ的终边经过点$P（1，-\sqrt{3}）$，若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求当$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$时，f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知求得$tanφ=-\sqrt{3}$，结合φ的范围求得φ，再由已知求得ω得答案；
（2）直接由复合函数的单调性求得函数的增区间；
（3）由x的范围求得相位的范围，进一步求得sin（$3x-\frac{π}{3}$）的范围得答案．

解答 解：（1）角φ的终边经过点$P（1，-\sqrt{3}）$，∴$tanφ=-\sqrt{3}$，
∵$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，∴$φ=-\frac{π}{3}$．
由|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$，得$T=\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}$，∴ω=3．
∴$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{3}）$；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{18}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{5π}{18}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为$[{-\frac{π}{18}+\frac{2kπ}{3}，}\right.\left.{\frac{5π}{18}+\frac{2kπ}{3}}]$（k∈Z）；
（3 ） 当$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$时，即0≤x≤$\frac{π}{3}$，则0≤3x≤π，
∴$-\frac{π}{3}≤3x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
由函数单调性可得：$-\frac{\sqrt{3}}{2}≤sin（3x-\frac{π}{3}）≤1$，
∴$-\sqrt{3}≤f（x）≤2$，
∴函数f（x）的值域为$[-\sqrt{3}，2]$．

点评 本题考查三角恒等变换中的应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．