Question

7．在直角坐标系xOy中，直线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=7+t}\end{array}}\right.（t$为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C₂的方程ρ=-2cosθ+2sinθ．曲线C₂上任意一点到直线C₁距离的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=7+t}\end{array}}\right.（t$为参数），消去t化为普通方程：x-y+6=0．曲线C₂的方程ρ=-2cosθ+2sinθ，即ρ²=-2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C₂上任意一点到直线C₁距离的最小值=d-r．

解答 解：直线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=7+t}\end{array}}\right.（t$为参数），消去t化为普通方程：x-y+6=0．
曲线C₂的方程ρ=-2cosθ+2sinθ，即ρ²=-2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²=-2x+2y，配方化为：（x+1）²+（y-1）²=2，
可得圆心C₂（-1，1），半径r=$\sqrt{2}$．
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-1+6|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
曲线C₂上任意一点到直线C₁距离的最小值=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．