Question

11．利用“二分法”判断方程①3x²-lnx=0；②x+lnx=0；③x³-3x²+3x-4=0；④x+$\frac{1}{x}$=2中在区间（0，1）内有实数解，则方程的序号为②．

Answer 1

分析 根据用二分法求方程的近似解的方法，函数必须是连续函数，且函数在零点两侧的函数值异号，由此检验各个选项中的函数，作出判断．

解答 解：对于①因为在（0，1）上lnx＜0，3x²＞0，
所以3x²-lnx＞0，在（0，1）上恒成立，故在（0，1）无解；
对于②设f（x）=x+lnx，f（1）=1＞0，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+ln$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{e}$-1＜0，
∴f（$\frac{1}{e}$）f（1）＜0，
∴x+lnx=0在区间（0，1）内有实数解；
对于③，设f（x）=x³-3x²+3x-4，则f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，
∴f（0）=-4＜0，f（1）=1-3+3-4=-3＜0，
∴f（x）在（0，1）无零点，故x³-3x²+3x-4=0区间（0，1）内无实数解；
对于④设f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，则f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0在（0，1）上恒成立，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，
∴f（1）=1+$\frac{1}{1}$+2=3，当x→0时，f（x）→+∞，
∴f（x）在（0，1）无零点，
故x+$\frac{1}{x}$=2中在区间（0，1）内无实数解．
故答案为：②

点评 本题主要考查用二分法求方程的近似解，注意用二分法求方程的近似解的条件，属于中档题．