Question

5．已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD分别交AE、AB于点F、D，∠ADF=45°．
（1）求证：CD为∠ACB的平分线；
（2）若AB=AC，求$\frac{AC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）判断出△ADF为等腰直角三角形，根据弦切角定理，三角形外角定理，及圆周角定理的推论，即可得出结论；
（2）若AB=AC，结合（1）的结论，我们可得△ABC三个角分别为30°，30°，120°，解三角形，即可得到$\frac{AC}{BC}$的值．

解答 （1）证明：∵CA切圆O于A点，
∴由弦切角定理，可得∠CAE=∠B
∵BE为圆O的直径
∴∠DAF=90°
∵∠ADF=45°，
∴∠ADF=∠AFD
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BCD
∴∠ACD=∠BCD，
∴CD为∠ACB的角平分线；
（2）解：若AB=AC，则∠CAE=∠B=∠ACB=30°
则$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查的知识点是圆周角定理，弦切角定理，三角形外角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．